Zagadnienie Cauchy’ego - pl.LinkFang.org

Zagadnienie Cauchy’ego


Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe, problem Cauchy'ego) – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów[1].

Przykład


Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

\({\displaystyle {\begin{cases}y'={\frac {y}{x^{2}+1}},\\[2pt]y\left({\frac {\pi }{4}}\right)=e^{3}.\end{cases}}}\)

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

\({\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+C}.}\)

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej \({\displaystyle C,}\) więc:

\({\displaystyle e^{3}=e^{\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C},}\)
\({\displaystyle 3=\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C,}\)
\({\displaystyle C=3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}.}\)

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

\({\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}}.}\)

Przypisy


  1. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.








Kategorie: Równania różniczkowe








Informacje na dzień: 22.12.2020 10:25:01 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.