Wielomiany Legendre’a - pl.LinkFang.org

Wielomiany Legendre’a


Wielomiany Legendre’a (nieunormowane) – wielomiany określone wzorem (Rodriguesa)

\({\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\dots ).}\)

Można je również zapisać w jawnej postaci

\({\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}\)

Ich nazwa pochodzi od nazwiska Adriena-Marie Legendre’a.

Spis treści

Funkcja generująca


Wielomiany Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:

\({\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}.}\)

Zachodzi wzór:

\({\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)t^{l}.}\)

Własności


\({\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots ).}\)

Kolejne wielomiany Legendre’a


Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre’a:

\({\displaystyle P_{0}(x)=1}\)
\({\displaystyle P_{1}(x)=x}\)
\({\displaystyle P_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)}\)
\({\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}\)
\({\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}\)
\({\displaystyle P_{5}(x)={\tfrac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}\)
\({\displaystyle P_{6}(x)={\tfrac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}\)
\({\displaystyle P_{7}(x)={\tfrac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)}\)
\({\displaystyle P_{8}(x)={\tfrac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)}\)
\({\displaystyle P_{9}(x)={\tfrac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)}\)
\({\displaystyle P_{10}(x)={\tfrac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)}\)
\({\displaystyle P_{11}(x)={\tfrac {1}{256}}(88179x^{11}-230945x^{9}+218790x^{7}-90090x^{5}+15015x^{3}-693x)}\)

Z wielomianami Legendre’a związane są stowarzyszone funkcje Legendre’a

Zobacz też


Bibliografia










Kategorie: Wielomiany ortogonalne








Informacje na dzień: 23.12.2020 04:07:11 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.