Układ współrzędnych sferycznych


Sferyczny układ współrzędnychukład współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Istnieje kilka systemów współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej które mogą być uważane za naturalne rozszerzenie układu biegunowego na płaszczyźnie na przestrzeń trójwymiarową. Do takich systemów zalicza się układ współrzędnych walcowych oraz dwa układy współrzędnych sferycznych, roboczo tu nazwanych „matematycznym” oraz „geograficznym”.

W obydwu tych układach istnieją współrzędne odpowiadające odległości od środka pewnej sfery i znanej z geografii długości geograficznej. Różnią się jednak trzecią współrzędną. W systemie „geograficznym” jest ona mierzona od równika (szerokość geograficzna). W systemie „matematycznym” jest ona liczona od bieguna.

W matematycznej literaturze polskojęzycznej występują obydwa typy współrzędnych sferycznych. Na przykład typ „geograficzny” jest przedstawiony w książkach Lei[1] oraz Encyklopedii szkolnej[2], a typ „matematyczny” jest wprowadzany przez Borsuka[3], Starka[4] czy Bronsztejna i Siemiendiajewa[5]. W geografii (współrzędne geograficzne) i astronomii (współrzędne astronomiczne) używa się zawsze współrzędnych opisanych poniżej jako „geograficzne”.

Spis treści

Rys historyczny


Sferyczny system współrzędnych został przedstawiony i rozwinięty w literaturze matematycznej dużo później niż system biegunowy na płaszczyźnie. Zwyczajowo matematycy uznają iż system ten był wprowadzony przez Jeana Baptista Clairauta, ale Julian Coolidge[6] ocenia jego wkład jako nieistotny.

Leonhard Euler używał tego systemu w 1748[7], a w 1771[8] podał wzory na przejście do kartezjańskiego układu współrzędnych. Podobnego systemu (i oznaczeń) użył Joseph Louis Lagrange w 1773[9].

System „geograficzny”


Współrzędne

Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:

  1. promień wodzący \({\displaystyle r\geqslant 0,}\) czyli odległość punktu P od początku układu O
  2. długość geograficzną \({\displaystyle -\pi \leqslant \phi <\pi ,}\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \({\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}\) na płaszczyznę OXY a osią OX
  3. szerokość geograficzną \({\displaystyle -{\frac {1}{2}}\pi \leqslant \theta \leqslant {\frac {1}{2}}\pi ,}\) czyli miarę kąta między wektorem \({\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}\) a jego rzutem na płaszczyznę OXY. Przyjmujemy, że miara kąta jest dodatnia, jeśli rzut wektora \({\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}\) na oś OZ jest z nią zorientowany zgodnie i ujemna, gdy rzut ten jest zorientowany przeciwnie do osi.

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt \({\displaystyle \phi }\) ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu 0 są równe 0.

Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie \({\displaystyle x,y,z}\) punktu P określają wzory:

\({\displaystyle x=x(r,\theta ,\phi )=r\cos \theta \cos \phi }\)
\({\displaystyle y=y(r,\theta ,\phi )=r\cos \theta \sin \phi }\)
\({\displaystyle z=z(r,\theta ,\phi )=r\sin \theta }\)

Jakobian przejścia wynosi

\({\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\phi )}}=\left|{\begin{array}{c}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\end{array}}\right|=}\) \({\displaystyle \left|{\begin{array}{c}\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \cos \phi &-r\cos \theta \sin \phi \\\cos \theta \sin \phi &-r\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \cos \phi \\\sin \theta &r\cos \theta &0\end{array}}\right|=-r^{2}\cos \theta }\)

Konwersję z układu kartezjańskiego na sferyczny zadają wzory:

\({\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\)
\({\displaystyle \phi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}\)
\({\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {z}{r}}}\)

System „matematyczny”


Współrzędne

Dowolnemu punktowi M przypisujemy jego współrzędne sferyczne:

  1. promień wodzący \({\displaystyle r\geqslant 0,}\) czyli odległość punktu M od początku układu O,
  2. długość azymutalna \({\displaystyle 0\leqslant \phi <2\pi }\) (Bronsztejn podaje \({\displaystyle -\pi <\phi \leqslant \pi }\)), czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \({\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}\) na płaszczyznę OXY a dodatnią półosią OX.
  3. odległość zenitalna \({\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant \pi ,}\) czyli miarę kąta między wektorem \({\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}\) a dodatnią półosią OZ,

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt \({\displaystyle \phi }\) ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.

Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie \({\displaystyle x,y,z}\) punktu M określają wzory:

\({\displaystyle x=x(r,\theta ,\phi )=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,}\)
\({\displaystyle y=y(r,\theta ,\phi )=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,}\)
\({\displaystyle z=z(r,\theta ,\phi )=r\,\cos \theta .}\)

Jakobian przejścia wynosi

\({\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\phi )}}=\left|{\begin{array}{c}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\end{array}}\right|=}\) \({\displaystyle \left|{\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{array}}\right|=r^{2}\sin \theta }\)

Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez:

\({\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}\)
\({\displaystyle \theta =\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}},}\)
\({\displaystyle \phi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}.}\)

(Funkcja \({\displaystyle \operatorname {arctg} }\) powinna być tak dobrana, aby wynik był w odpowiedniej ćwiartce \({\displaystyle y/x}\)).

Oznaczenia współrzędnych

Nie jest ustalony jeden system oznaczeń współrzędnych. Przykłady różnych podejść (według MathWorld[10]) podane są poniżej (kolejno promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna):

Układ sferyczny w astronomii


W astronomii układ sferyczny to umowny sposób, w jaki podaje się współrzędne na sferze niebieskiej lub na powierzchni kuli ziemskiej. Można tego dokonać wybierając koło główne oraz główne kierunki na tym kole. W takim wypadku jedna ze współrzędnych to kąt między płaszczyzną koła głównego a kierunkiem do określonego punktu należącego do powierzchni kuli, druga natomiast stanowi kąt dwuścienny pomiędzy półpłaszczyznami prostopadłymi do płaszczyzny koła głównego, z których jedna ustawiona jest w kierunku głównym, druga przechodzi przez określony punkt.

Zobacz też


Przypisy


  1. Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państw. Wyd. Naukowe, Warszawa 1976, s. 45.
  2. Encyklopedia szkolna – Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1990, s. 299, ​ISBN 83-02-02551-8​.
  3. Karol Borsuk: Geometria analityczna wielowymiarowa. „Biblioteka Matematyczna”, tom 23, wydanie 2. Państw. Wyd. Naukowe, Warszawa 1964, s. 17.
  4. Marceli Stark: Geometria analityczna. „Monografie Matematyczne”, tom 26. Warszawa-Wrocław 1951, s. 68. Plik pdf z Rozdziałem 2.
  5. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 280.
  6. Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952); s. 83: this apparently is for what he might have done, not what he actually accomplished which seems to have been nothing at all.
  7. Euler, Leonhard: Introductio in Analysin infinitorum, tom II, 1748.
  8. Leonhard Euler: De solidis quorum superficies in planum explicare licet. „Novi Commentarii Petropolitanae”, 16, 1771, s. 11.
  9. Lagrange, Joseph Louis: Sur l’attraction des spheroides elliptiques. „Memoires de l’Academie de Berlin” 1773.
  10. Eric W. Weisstein, Spherical Coordinates , [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).









Kategorie: Układy współrzędnych




Informacje na dzień: 23.12.2020 04:23:29 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.