Układ współrzędnych kartezjańskich


Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych mający dwie prostopadłe osie. Pewne cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Spis treści

Pochodzenie nazwy


Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (René Descartes, franc. przymiotnik cartesien), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie La Géométrie[1]. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług[2].

Definicja


Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Współrzędne


Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu \({\displaystyle P{:}}\)

  1. Tworzymy rzut prostokątny punktu \({\displaystyle P}\) na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez \({\displaystyle P}\) i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
  2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu \({\displaystyle P.}\)

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

Ćwiartki i oktanty


Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi[3]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,− na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej


Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi \({\displaystyle OX}\) do \({\displaystyle OY,}\) to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi \({\displaystyle OZ}\) (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też


W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Układ współrzędnych kartezjańskich

Przypisy


  1. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637 .
  2. Neil Schlager, Josh Lauer (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III. 1450-1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242.
  3. Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.









Kategorie: Układy współrzędnych




Informacje na dzień: 23.12.2020 01:12:22 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.