Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.
W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.
Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:
Dla \({\displaystyle S\subseteq k^{n},}\) oznaczmy \({\displaystyle I(S)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall s\in S\quad f(s)=0\}.}\) Mocny Nullstellensatz mówi:
Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych \({\displaystyle n}\) zmiennych \({\displaystyle f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\dots ,f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0}\) ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał \({\displaystyle I=(f_{1},\dots ,f_{k})}\) nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym \({\displaystyle {\mathfrak {m}},}\) który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci \({\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}\) dla pewnych \({\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}.}\) Ponieważ \({\displaystyle f_{i}\in I\subseteq {\mathfrak {m}},}\) otrzymujemy, że \({\displaystyle f_{i}=(x_{1}-a_{1})g_{i1}+(x_{2}-a_{2})g_{i2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})g_{in},}\) dla pewnych \({\displaystyle g_{ij}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) a wtedy oczywiście \({\displaystyle f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})=0,}\) co oznacza, że punkt \({\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}\) jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów \({\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}.}\)
Oznaczając przez \({\displaystyle V(I)=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in k^{n}:\forall f\in I\,f(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})=0\}}\) zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału \({\displaystyle I,}\) otrzymujemy, że \({\displaystyle I\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]\Rightarrow V(I)\neq \emptyset ,}\) czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli \({\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) jest ideałem maksymalnym, to \({\displaystyle V(I)\neq \emptyset }\) oznacza, że pewien punkt \({\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),}\) czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu \({\displaystyle \phi :k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k,\phi (x_{i})=a_{i},}\) ale I jest ideałem maksymalnym, zatem \({\displaystyle I=\ker \phi .}\) Z drugiej strony, \({\displaystyle x_{i}-a_{i}\in \ker \phi ,}\) oraz ideał \({\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\subseteq \ker \phi }\) jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem \({\displaystyle I=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}).}\)
Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej \({\displaystyle k^{n}}\) odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu \({\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}].}\)
Kategorie: Geometria algebraiczna
