Twierdzenie Hilberta o zerach


Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Spis treści

Sformułowanie


W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech \({\displaystyle k}\) będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny \({\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) jest postaci \({\displaystyle I=(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n})}\) dla pewnych \({\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in k}\)

Dla \({\displaystyle S\subseteq k^{n},}\) oznaczmy \({\displaystyle I(S)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall s\in S\quad f(s)=0\}.}\) Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli \({\displaystyle J\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to \({\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}},}\) gdzie \({\displaystyle {\sqrt {J}}}\) oznacza radykał ideału \({\displaystyle J,}\) zatem funkcje \({\displaystyle I,V}\) są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią


Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych \({\displaystyle n}\) zmiennych \({\displaystyle f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\dots ,f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0}\) ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał \({\displaystyle I=(f_{1},\dots ,f_{k})}\) nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym \({\displaystyle {\mathfrak {m}},}\) który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci \({\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}\) dla pewnych \({\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}.}\) Ponieważ \({\displaystyle f_{i}\in I\subseteq {\mathfrak {m}},}\) otrzymujemy, że \({\displaystyle f_{i}=(x_{1}-a_{1})g_{i1}+(x_{2}-a_{2})g_{i2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})g_{in},}\) dla pewnych \({\displaystyle g_{ij}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) a wtedy oczywiście \({\displaystyle f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})=0,}\) co oznacza, że punkt \({\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}\) jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów \({\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}.}\)

Oznaczając przez \({\displaystyle V(I)=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in k^{n}:\forall f\in I\,f(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})=0\}}\) zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału \({\displaystyle I,}\) otrzymujemy, że \({\displaystyle I\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]\Rightarrow V(I)\neq \emptyset ,}\) czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli \({\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}\) jest ideałem maksymalnym, to \({\displaystyle V(I)\neq \emptyset }\) oznacza, że pewien punkt \({\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),}\) czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu \({\displaystyle \phi :k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k,\phi (x_{i})=a_{i},}\) ale I jest ideałem maksymalnym, zatem \({\displaystyle I=\ker \phi .}\) Z drugiej strony, \({\displaystyle x_{i}-a_{i}\in \ker \phi ,}\) oraz ideał \({\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\subseteq \ker \phi }\) jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem \({\displaystyle I=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}).}\)

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej \({\displaystyle k^{n}}\) odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu \({\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}].}\)

Zobacz też


Bibliografia











Kategorie: Geometria algebraiczna




Informacje na dzień: 27.09.2021 10:33:50 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.