Suma zbiorów


Suma zbiorów (rzadko: unia zbiorów) – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

Definicje formalne


Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów (i niezawierający innych elementów)[1][2][3].

Suma zbiorów \({\displaystyle A}\) i \({\displaystyle B}\) jest oznaczana symbolem \({\displaystyle A\cup B}\) (rzadziej \({\displaystyle A+B}\)[3]). Tak więc:

\({\displaystyle x\in (A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A)\lor (x\in B)}\)[1][2][3],

co można równoważnie zapisać jako

\({\displaystyle A\cup B=\{x\in \Omega :x\in A\vee x\in B\}}\)[4][5],

gdzie \({\displaystyle A,B\subset \Omega }\) i \({\displaystyle \Omega }\) jest zbiorem wszystkich rozważanych obiektów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów \({\displaystyle {\mathfrak {A}}}\) to

\({\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\{x\in \Omega :(\exists A\in {\mathfrak {A}})(x\in A)\}}\)[9].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów \({\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}\) definiujemy

\({\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\exists i\in I)(a\in A_{i})\},}\)

co jest równoważne

\({\displaystyle a\in \bigcup _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow \exists i\in I\,(a\in A_{i})}\)[10][11].

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zostać zredukowane do drugich, np. \({\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup \{A_{i}:i\in I\},}\) a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady

\({\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=({\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).}\)

Poprawność definicji sumy zbiorów

W powyższej definicji zakłada się, że dodawane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru Ω zwanego przestrzenią. Definicja sumy dwóch zbiorów jest więc pewnym dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze potęgowym pewnego ustalonego zbioru \({\displaystyle \Omega {:}}\)

\({\displaystyle \cup :{\mathcal {P}}(\Omega )\times {\mathcal {P}}(\Omega ){\mathcal {\to }}{\mathcal {P}}(\Omega ).}\)

Poprawność zdefiniowanego działania tj. istnienie jednoznacznego wyniku dla dowolnych dwóch argumentów wynika np. z aksjomatu podzbiorów.

Takie rozumienie definicji sumy wzmacniają diagramy Venna, w których zbiory obrazowane są owalami rozgraniczającymi elementy przestrzeni Ω na te, które należą do danego zbioru, od tych, które do niego nie należą.

Opuszczenie warunku, aby dodawane zbiory były podzbiorami pewnego wspólnego zbioru, prowadzi do poważnych problemów teoriomnogościowych. Dodawanie zbiorów byłoby wówczas dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze wszystkich zbiorów, co oznacza odwołanie się do nieistniejącego obiektu (patrz paradoks zbioru wszystkich zbiorów). Z kolei definicja postaci \({\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}}\) jest konstruowaniem zbioru poprzez podanie formuły, którą muszą spełniać jego elementy, co jest metodą, której należy unikać aksjomatycznej teorii mnogości. Ostatecznie oznacza to nieistnienie dwuargumentowego działania dodawania zbiorów, o których nie ma dodatkowych założeń, a dla stwierdzenia istnienia sumy dwóch danych zbiorów należy powołać na aksjomat sumy.

Własności


Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów \({\displaystyle A,B,C}\) zachodzą następujące równości:

Ponadto:

\({\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )}\)
jest zupełną algebrą Boole’a.
\({\displaystyle A\cap B=(A\cup B){\dot {-}}(A{\dot {-}}B)}\) oraz \({\displaystyle A\setminus B=A{\dot {-}}(A\cap B)}\)

Operacje nieskończone

Własności sumy skończenie wielu zbiorów uogólniają się na sumę rodzin indeksowanych zbiorów. Niech \({\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},}\) \({\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}\) oraz \({\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}}\) będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech \({\displaystyle D}\) będzie zbiorem. Wówczas

Następującą formułę można przytoczyć jako ciekawostkę. Niech \({\displaystyle {\mathfrak {A}}}\) będzie rodziną zbiorów. Wówczas

\({\displaystyle \bigcup \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\right)=\bigcup \left\{\bigcup A:A\in {\mathfrak {A}}\right\}.}\)

Na przykład niech \({\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\},}\) gdzie \({\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{A_{1},A_{2}\}}\) oraz \({\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{A_{3},A_{4}\}.}\) Wtedy z jednej strony:

\({\displaystyle \bigcup \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\right)=\bigcup \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4},}\)

a z drugiej

\({\displaystyle \bigcup \left\{\bigcup A:A\in {\mathfrak {A}}\right\}=\bigcup \{A_{1}\cup A_{2},A_{3}\cup A_{4}\}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}.}\)

Suma a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji \({\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,}\) dla dowolnej rodziny indeksowanej \({\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}\) podzbiorów zbioru \({\displaystyle X,}\) oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej \({\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}\) podzbiorów zbioru \({\displaystyle Y,}\) prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

Zobacz też


Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceumLiczby i ich zbiory

Uwagi


Przypisy


Bibliografia











Kategorie: Działania na zbiorach




Informacje na dzień: 23.12.2020 12:36:16 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.