Stowarzyszone funkcje Legendre’a - pl.LinkFang.org

Stowarzyszone funkcje Legendre’a




Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a)funkcje \({\displaystyle P_{l}^{m}(x)}\) zmiennej rzeczywistej \({\displaystyle x\in [-1,1],}\) będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a

\({\displaystyle \left[(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]f(x)=0,}\)

gdzie \({\displaystyle \lambda ,m}\) – parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych \({\displaystyle \lambda ,m,}\) takich że

(1) \({\displaystyle \lambda =l(l+1)}\) oraz

(2) \({\displaystyle l,m}\) są liczbami całkowitymi, takimi że \({\displaystyle 0\leqslant m\leqslant l.}\)

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a \({\displaystyle P_{l}(x)}\) zależnością

\({\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{l}(x).}\)

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Spis treści

Ogólne rozwiązanie równania Legendre’a


Ogólne rozwiązanie \({\displaystyle f(x)}\) można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji \({\displaystyle P_{l}^{m}(x)}\) o różnych wartościach parametrów \({\displaystyle l,m.}\) Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre’a \({\displaystyle P_{l}^{m}(x)}\)


Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami \({\displaystyle m,}\) są następujące:

(0)

\({\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}\)

(1)

\({\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{1}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\&P_{1}^{0}(x)\ &=x\\&P_{1}^{1}(x)\ &=-(1-x^{2})^{1/2}\end{alignedat}}}\)

(2)

\({\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{2}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\&P_{2}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\&P_{2}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\&P_{2}^{1}(x)\ &=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{2}^{2}(x)\ &=3(1-x^{2})\end{alignedat}}}\)

(3)

\({\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{3}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\&P_{3}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\&P_{3}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\&P_{3}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\&P_{3}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{3}^{2}(x)\ &=15x(1-x^{2})\\&P_{3}^{3}(x)\ &=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{alignedat}}}\)

(4)

\({\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{4}^{-4}(x)\ &={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\&P_{4}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\&P_{4}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\&P_{4}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\&P_{4}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\&P_{4}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{4}^{2}(x)\ &={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\&P_{4}^{3}(x)\ &=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\&P_{4}^{4}(x)\ &=105(1-x^{2})^{2}\end{alignedat}}}\)

Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta \({\displaystyle \theta }\)


Funkcje \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\)

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość \({\displaystyle x=\cos \theta }\) oraz używając relacji \({\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }\) otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów \({\displaystyle \lambda ,m}\) postaci

\({\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}+\operatorname {ctg} \theta {\frac {d}{d\theta }}+\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,f(\theta )=0.}\)

Rozwiązaniami tego równania są funkcje \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\) zmiennej \({\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}\) takie że

\({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{l}(\cos \theta ),}\)

gdzie \({\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}\) wielomianami Legendre’a z argumentem \({\displaystyle x=\cos \theta ,}\) przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) \({\displaystyle \lambda =l(l+1)}\) oraz

(2) \({\displaystyle l,m}\) są liczbami całkowitymi, takimi że \({\displaystyle 0\leqslant m\leqslant l.}\)

Relacje ortogonalności

(1) Dla ustalonego \({\displaystyle m}\) funkcje \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\) z parametrem \({\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}\) są ortogonalne z wagą \({\displaystyle \sin \theta }\)

\({\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{l}^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}\ \delta _{k,l},}\)

(2) Także, dla danego \({\displaystyle l}\) mamy

\({\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )\,P_{l}^{n}(\cos \theta )\operatorname {cosec} (\theta )\,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(l+m)!}{m(l-m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0.\end{cases}}}\)

Ogólne rozwiązanie

Ogólne rozwiązanie \({\displaystyle f(\theta )}\) można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\) o różnych wartościach parametrów \({\displaystyle l,m.}\) Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\)


\({\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}\)

Zastosowania w fizyce


Osobny artykuł: Harmoniki sferyczne.

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych \({\displaystyle r,\phi ,\theta }\) i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od \({\displaystyle r,}\) ma zwykle postać \({\displaystyle \Delta \psi (\theta ,\phi )+\lambda \,\psi (\theta ,\phi )=0,}\) przy czym \({\displaystyle \Delta }\) oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej \({\displaystyle r.}\) Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta \({\displaystyle \theta }\)) i funkcji zależnych od kąta \({\displaystyle \phi .}\)

Równanie \({\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0}\)

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania \({\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0}\) określonego na powierzchni sfery dla zmiennych \({\displaystyle \phi ,\theta .}\) Zapisując operator Laplace’a \({\displaystyle \Delta }\) we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej \({\displaystyle r,}\) równanie to przyjmie postać

\({\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\psi +\lambda \psi =0,}\)

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując \({\displaystyle \psi (\theta ,\phi )=X(\phi )\cdot Y(\theta ).}\) Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od \({\displaystyle \phi }\)

\({\displaystyle {\frac {d^{2}X}{d\phi ^{2}}}+m^{2}X=0}\)

– jego rozwiązania są postaci \({\displaystyle \sin(m\phi )}\) lub \({\displaystyle \cos(m\phi ),}\) przy czym \({\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,}\) aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co \({\displaystyle 2\pi ,}\) tj. \({\displaystyle X(\phi +2\pi m)=X(\phi ).}\)

(2) równanie zależne od \({\displaystyle \theta }\)

\({\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right]Y-\left[\lambda +{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,Y=0}\)

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a \({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}\) mnożone przez dowolną stałą, przy czym \({\displaystyle l\geqslant m}\) oraz \({\displaystyle \lambda =l(l+1),}\) aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie \({\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0}\) posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb \({\displaystyle \lambda }\) takich że \({\displaystyle \lambda =l(l+1),}\) przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

\({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\quad 0\leqslant m\leqslant l}\)

i

\({\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\quad 0<m\leqslant l.}\)

Dla każdej liczby \({\displaystyle l}\) mamy \({\displaystyle 2\ell +1}\) funkcji o różnych wartościach \({\displaystyle m}\) oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb \({\displaystyle \ell }\) oraz \({\displaystyle m,}\) jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

\({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}}}\ P_{l}^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -l\leqslant m\leqslant l.}\)

Funkcje \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}\) nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach \({\displaystyle l,}\) a przeciwnych wartościach \({\displaystyle m,}\) spełnia zależność

\({\displaystyle Y_{l}^{m\,*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{l}^{-m\,*}(\theta ,\phi ),}\)

gdzie \({\displaystyle *}\) oznacza sprzężenie zespolone.









Kategorie: Funkcje matematyczne








Informacje na dzień: 28.05.2020 09:48:55 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.