Równanie parametryczne


Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas \({\displaystyle t}\) – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Spis treści

Przykłady dwuwymiarowe


Parabola

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

\({\displaystyle y=x^{2},}\)

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru \({\displaystyle t}\) w następujący sposób:

\({\displaystyle x=t}\)
\({\displaystyle y=t^{2}.}\)

Okrąg

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu \({\displaystyle a{:}}\)

\({\displaystyle x=a\cos(t)}\)
\({\displaystyle y=a\sin(t),}\)

gdzie \({\displaystyle t\in [0,2\pi ).}\)

Przykłady trójwymiarowe


Helisa

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

\({\displaystyle x=a\cos(t)}\)
\({\displaystyle y=a\sin(t)}\)
\({\displaystyle z=bt,}\)

gdzie \({\displaystyle a>0,}\) \({\displaystyle t\in [0,2\pi ),}\)

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu \({\displaystyle a,}\) która wznosi się o \({\displaystyle 2\pi b}\) co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

\({\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).}\)

Powierzchnie parametryczne

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów \({\displaystyle t,u{:}}\)

\({\displaystyle x=\cos(t)\cdot [R+r\cos(u)]}\)
\({\displaystyle y=\sin(t)\cdot [R+r\cos(u)]}\)
\({\displaystyle z=r\cdot \sin(u),}\)

gdzie \({\displaystyle t\in [0,2\pi ),}\)\({\displaystyle u\in [0,2\pi ).}\)

Zastosowanie


Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

\({\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b),}\)

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

\({\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0).}\)

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania


Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej \({\displaystyle t}\) z równań \({\displaystyle x=x(t),\ y=y(t).}\) Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla \({\displaystyle t,}\) wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne \({\displaystyle x}\) oraz \({\displaystyle y.}\) Jeśli \({\displaystyle x(t)}\) i \({\displaystyle y(t)}\) są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej \({\displaystyle t.}\) Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu \({\displaystyle a}\)

\({\displaystyle x=a\cos(t)}\)
\({\displaystyle y=a\sin(t)}\)
\({\displaystyle a>0,}\) \({\displaystyle t\in [0,2\pi ).}\)

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych \({\displaystyle x}\) oraz \({\displaystyle y}\) korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\({\displaystyle x/a=\cos(t)}\)
\({\displaystyle y/a=\sin(t)}\)
\({\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1}\)
\({\displaystyle \therefore (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,}\)

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy











Kategorie: Równania




Informacje na dzień: 23.12.2020 06:15:03 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.