Równanie Schrödingera - pl.LinkFang.org

Równanie Schrödingera


Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Równanie to pozwala opisać ewolucję stanu układu kwantowego w czasie w sposób znacznie dokładniejszy, niż czyni to mechanika klasyczna.

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej równanie Schrödingera odgrywa rolę fundamentalną, analogiczną do roli zasad dynamiki Newtona w mechanice klasycznej[1].

Spis treści

Równanie Schrödingera zależne od czasu


\({\displaystyle {\hat {H}}{\big |}\Psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\big |}\Psi (t)\rangle ,}\)

gdzie:

\({\displaystyle i}\) – jednostka urojona,
\({\displaystyle \hbar =h/2\pi ,}\) gdzie \({\displaystyle h}\) – stała Plancka
\({\displaystyle {\hat {H}}}\) – operator Hamiltona (operator energii całkowitej układu, w skrócie nazywany hamiltonianem),
\({\displaystyle {\big |}\Psi (t)\rangle }\) – wektor stanu układu.

Aby rozwiązać równanie Schrödingera dla danego układu kwantowego, należy znaleźć właściwą postać operatora Hamiltona oraz wyrazić wektor stanu w odpowiedniej reprezentacji. Poniżej omówiono dwie reprezentacje – położeniową i spinową.

Reprezentacja położeniowa

Reprezentację położeniową wybiera się, gdy trzeba rozwiązać problem ruchu cząstek w przestrzeni. W tej reprezentacji równanie Schrödingera przyjmuje postać:

\({\displaystyle {\hat {H}}\Psi (r,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (r,t),}\)

gdzie:

\({\displaystyle \Psi (r,t)=\langle r{\big |}\Psi (t)\rangle }\) – funkcja położenia i czasu zwana funkcją falową,
\({\displaystyle r}\) – wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej.

W przypadku pojedynczej cząstki przestrzeń konfiguracyjna jest przestrzenią fizyczną \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}\) Gdy układ składa się z \({\displaystyle N}\) cząstek, to wektor \({\displaystyle r=(\mathbf {r} _{1},\dots \mathbf {r} _{k},\dots \mathbf {r} _{N})}\) jest wektorem położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3N},}\) przy czym \({\displaystyle \mathbf {r} _{k}}\) jest wektorem położenia \({\displaystyle k}\)-tej cząstki w przestrzeni fizycznej \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}\)

Z rozwiązania równania Schrödingera otrzymuje się funkcję falową \({\displaystyle \Psi (r,t).}\) Kwadrat modułu funkcji falowej \({\displaystyle |\Psi (r,t)|^{2}}\) określa prawdopodobieństwo, że układ znajdzie się w chwili \({\displaystyle t}\) w stanie \({\displaystyle r.}\)

Przykłady hamiltonianu w tej reprezentacji omówiono w rozdziale Przykłady hamiltonianu.

Reprezentacja spinowa

Gdy trzeba znaleźć zmiany czasowe stanów spinowych cząstek, to przyjmuje się reprezentację spinową; hamiltonian nie ma tu postaci pojedynczego operatora, ale jest operatorem o postaci macierzowej. Przykładowo, dla pojedynczej cząstki o spinie 1/2 hamiltonian ma postać macierzy 2x2

\({\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{pmatrix}}.}\)

Np. w przypadku elektronu znajdującym się w zewnętrznym polu \({\displaystyle {\vec {B}}}\) magnetycznym część operatora Hamiltona odpowiadająca energii oddziaływania elektronu z polem magnetycznym ma postać

\({\displaystyle {\hat {H}}=-\mu {\vec {B}}\cdot {\vec {\sigma }},}\)

gdzie \({\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}\) jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego. (Równanie o takim hamiltonianie zostało wprowadzone przez Pauliego i ściśle nazywa się je równaniem Pauliego.)

Równanie Schrödingera niezależne od czasu


Jeżeli układ fizyczny oddziałuje z otoczeniem, to operator Hamiltona jest wyrażony przez pochodne względem \({\displaystyle r,}\) \({\displaystyle {\dot {r}}}\) oraz \({\displaystyle t,}\) czyli \({\displaystyle {\hat {H}}(r,{\dot {r}},t).}\) Mówi się, że hamiltonian zależy od czasu. Wtedy znalezienie opisu stanu układu kwantowego wymaga stosowania ogólnego równania Schrödingera.

Sytuacja upraszcza się, gdy układ jest odizolowany od otoczenia, gdyż wtedy jego całkowita energia nie zmienia się w czasie. Matematycznym wyrazem tego jest, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, lecz jest wyrażony tylko przez pochodne względem \({\displaystyle r}\) oraz \({\displaystyle {\dot {r}},}\) czyli \({\displaystyle {\hat {H}}(r,{\dot {r}}).}\) Wtedy wektor stanu przyjmuje postać iloczynu, zawierającego czynnik zależny od czasu i czynnik zależny tylko od położenia

\({\displaystyle \Psi (r,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (r),}\)

gdzie:

\({\displaystyle E}\) – energia układu,
\({\displaystyle \psi (r)}\) – część funkcji falowej niezależna od czasu.

Wstawiając powyższą postać funkcji falowej do równania ogólnego, otrzymuje się równanie Schrödingera niezależne od czasu

\({\displaystyle {\hat {H}}\psi (r)=E\psi (r).}\)

Teoretyczne obliczenie dyskretnych energii


Konieczność teoretycznego wprowadzenia kwantyzacji układów fizycznych na początku XX wieku wynikła z nowo odkrytych faktów doświadczalnych. Stwierdzono bowiem, że niektóre układy fizyczne nie przyjmują dowolnych wartości energii, a jedynie wartości dyskretne. Odkryto na przykład, że pojedyncze atomy dają dyskretne widmo promieniowania, ciała stałe emitują promieniowanie termiczne o tzw. rozkładzie ciała doskonale czarnego, które dało się wyjaśnić, jedynie przyjmując emisję promieniowanie w postaci dyskretnych porcji – fotonów; jony w ciałach stałych mają dyskretne energie, co ma wpływ na charakterystyczną wartość ich ciepła właściwego.

Schrödinger pokazał, że można teoretycznie obliczyć dyskretne wartości energii w przypadku stanów związanych układu. Mianowicie, jeżeli operator Hamiltona zapisze się w bazie jego stanów własnych, to niezależne od czasu równanie Schrödingera przybiera postać macierzową

\({\displaystyle H_{\mu }^{\nu }c_{\nu }=Ec_{\mu },}\)

gdzie \({\displaystyle H_{\mu }^{\nu }=\langle \mu |H|\nu \rangle .}\) Równanie powyższe jest układem równań liniowych n-tego rzędu. Przekształcając je do postaci

\({\displaystyle (H_{\mu }^{\nu }-E\delta _{\mu }^{\nu })c_{\nu }=0,}\)

widzimy, że układ ten ma rozwiązania niezerowe jedynie wtedy, gdy wyznacznik główny układu jest równy zero, tzn.

\({\displaystyle \det(\mathbf {H} -E\mathbf {I} )=0.}\)

Powyższe równanie prowadzi do równania wielomianowego n-tego rzędu, które w przypadku macierzy hermitowskiej ma dokładnie \({\displaystyle n}\) pierwiastków rzeczywistych \({\displaystyle E_{k},k=1,...,n,}\) które są dyskretnymi wartościami energii.

Przykłady hamiltonianu


Hamiltonian składa się z sumy operatorów energii kinetycznych cząstek układu oraz sumy energii potencjalnych, związanych z oddziaływaniami cząstek układu ze sobą i z polem zewnętrznym (np. polem elektromagnetycznym).

Cząstka o masie \({\displaystyle m}\) w polu potencjalnym

1) Hamiltonian pojedynczej cząstki jest sumą operatorów energii kinetycznej \({\displaystyle {\hat {T}}}\) i energii potencjalnej \({\displaystyle {\hat {V}}}\)

\({\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}.}\)

W przypadku cząstki nierelatywistycznej (tj. poruszającej się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła, \({\displaystyle v\ll c}\)), oraz pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu, operator energii kinetycznej ma postać:

\({\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}\)

gdzie:

\({\displaystyle m}\) – masa cząstki,
\({\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla =-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}\) – operator pędu cząstki.

Działanie operatora energii potencjalnej \({\displaystyle {\hat {V}}}\) na funkcję falową oznacza po prostu mnożenie funkcji falowej przez potencjał \({\displaystyle V(\mathbf {r} ,t),}\) który w ogólności zależy od położenia \({\displaystyle \mathbf {r} }\) w przestrzeni oraz chwili czasu \({\displaystyle t.}\)

Operator Hamiltona ma więc postać

\({\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t),}\)

gdzie \({\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}\) – operator Laplace’a (tzw. laplasjan).

Operator Hamiltona ma więc tutaj postać operatora różniczkowego: działając na funkcję falową dokonuje jej różniczkowania i mnożenie przez stałą liczbę oraz mnożenia przez funkcję. Wstawiając postać operatora Hamiltona do ogólnego równania Schrödingera, otrzymuje się

\({\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t).}\)

Równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Aby rozwiązać je, należy zadać:

W szczególności, gdy energia potencjalna ma symetrię sferyczną (np. dla atomu wodoru nie poddanemu działaniu zewnętrznych pól), rozwiązania mają postać zawierającą stowarzyszone wielomiany Legendre’a.

2) W przypadku, gdy hamiltonian nie zależy od czasu, energia całkowita cząstki jest stała w czasie (np. cząstka porusza się w potencjalnym polu sił niezależnym od czasu \({\displaystyle V(\mathbf {r} )}\) lub jest odizolowana od otoczenia), to ogólne równanie Schrödingera upraszcza się do równania niezależnego od czasu:

\({\displaystyle \left[-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=E\,\psi (\mathbf {r} ),}\)

gdzie:

\({\displaystyle E}\) – nieznana energia całkowita układu,
\({\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}\) – nieznana funkcja zależna tylko od położenia \({\displaystyle \mathbf {r} .}\)

Rozwiązanie powyższego równania daje różne możliwe wartości energii \({\displaystyle E}\) oraz odpowiadające im postacie funkcji \({\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}\) zwanych stanami stacjonarnymi nie tylko ze względu na niezależność od czasu, ale też na niezależność od czasu rozkładów prawdopodobieństw. Np. dla elektronu poruszającego się w potencjale Coulomba otrzymuje się dozwolone, dyskretne wartości poziomów energii \({\displaystyle E_{n}}\) i odpowiadające im stany stacjonarne \({\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} ),}\) w zgodzie z widmem energii atomu wodoru.

Matematycznie równanie Schrödingera niezależne od czasu ma postać tzw. równania własnego energii. Dlatego otrzymane rozwiązania nazywamy też wartościami własnymi \({\displaystyle E}\) oraz funkcjami własnymi \({\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}\) operatora Hamiltona.

Cząstka o masie \({\displaystyle m}\) i ładunku \({\displaystyle q}\) w polu elektromagnetycznym

Jeżeli cząstka o ładunku \({\displaystyle q}\) i masie spoczynkowej \({\displaystyle m}\) porusza się w stałym polu elektrycznym \({\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi }\) i stałym polu magnetycznym \({\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}\) to energia cząstki jest stała; można wtedy zagadnienie ruchu cząstki sprowadzić do rozwiązania równania Schrödingera bez czasu, które ma postać:

\({\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}+q\varphi \right]\psi ({\vec {r}})=E\,\psi ({\vec {r}}).}\)

Np. elektron poruszający się w stałym polu elektrycznym i magnetycznym (przy czym pomijamy tu spin elektronu).

Rozwiązania


Analityczne rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach. Jednak te najprostsze sytuacje pozwalają zapoznać się wstępnie z naturą zjawisk kwantowych. Niejednokrotnie też przypadki te są dobrym przybliżeniem bardziej złożonych zjawisk.

Najbardziej typowe układy, które można rozwiązać analitycznie, to np.

Dla wielu układów (np. wielu orbitali atomowych) nie istnieje rozwiązanie analityczne. W takich przypadkach stosuje się przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych, wśród których najpopularniejsze to:

Prąd prawdopodobieństwa


Równanie Schrödingera zapewnia lokalne zachowanie prawdopodobieństwa. Dla przykładu rozważymy pojedynczą cząstkę, której stan \({\displaystyle \Psi (r,t)}\) ma postać krzywej dzwonowej Gaussa zajmującej niewielki obszar w przestrzeni i poruszającej się z prędkością \({\displaystyle v}\) w prawo. Oznacza to, że z upływem czasu miejsce największego prawdopodobieństwa znalezienia cząstki przesuwa się w prawo. Ruch ten opisuje się, wprowadzając wektor gęstości prądu prawdopodobieństwa. Można tu zauważyć analogię do przepływu np. cieczy lub prądu elektrycznego.

Gęstości prądu prawdopodobieństwa definiuje się następująco:

\({\displaystyle \mathbf {j} (r,t)=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi \right).}\)

Jednostką \({\displaystyle \mathbf {j} }\) w układzie SI jest [prawdopodobieństwo)/(powierzchnia*czas)] = [m−2s−1]. Gęstość prądu prawdopodobieństwa spełnia równanie ciągłości (analogicznie jak płynąca ciecz)

\({\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}\)

gdzie \({\displaystyle \rho (r,t)=|\Psi (r,t)|^{2}}\) – gęstość prawdopodobieństwa mierzoną w jednostkach [prawdopodobieństwo)/(objętość] = [m−3]. Równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania prawdopodobieństwa: jeśli prawdopodobieństwo zmniejsza się w pobliżu punktu \({\displaystyle r,}\) to przepływa do sąsiednich obszarów, podobnie jak przepływałaby ciecz; przepływ ten jest opisany za pomocą prądu \({\displaystyle \mathbf {j} .}\)

Np. niech cząstka o masie \({\displaystyle m}\) poruszająca się z prędkością \({\displaystyle v}\) w kierunku osi \({\displaystyle x}\) ma funkcję falowa w postaci fali płaskiej:

\({\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{\frac {p}{\hbar }}x}e^{-i\omega t},}\)

gdzie \({\displaystyle \mathbf {p} =[p,0,0]}\) jest pędem cząstki skierowanym wzdłuż osi \({\displaystyle x.}\) Obliczając gęstość prądu prawdopodobieństwa, otrzymamy

\({\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {|A|^{2}}{m}}\mathbf {p} ,}\)

co oznacza, że prąd prawdopodobieństwa jest stałym wektorem, takim samym dla różnych położeń i chwil czasu (czyli prawdopodobieństwo przepływa jednorodnie w czasie i przestrzeni – w kierunku osi x).

Obliczając gęstość prawdopodobieństwa, otrzymamy

\({\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2},}\)

tzn. rozkład prawdopodobieństwa jest stały w czasie i przestrzeni, a więc cząstka może więc znajdować się w dowolnym położeniu z jednakowym prawdopodobieństwem. Obliczając dywergencję przestrzenną prądu \({\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)}\) oraz pochodną po czasie gęstości \({\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t),}\) otrzymamy

\({\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {j} =0,}\)

a więc równanie ciągłości jest spełnione.

Znaczenie równania


\({\displaystyle \int \limits _{\Omega }|\Psi (r,t)|^{2}\,dr<\infty .}\)

Funkcje o tej własności można unormować do 1 oraz nadać sens gęstości prawdopodobieństwa kwadratom ich modułów.

Problem interpretacji mechaniki kwantowej


Aparat matematyczny mechaniki kwantowej pozwala obliczać z niezwykłą dokładnością wielkości, które mierzy się w eksperymentach dla różnych układów kwantowych, a także pozwala przewidywać właściwości układów których nie otrzymano jeszcze w laboratoriach. Dzięki temu np. można bez potrzeby wcześniejszego wytwarzania obliczać właściwości materiałów i tak dobierać ich skład, aby uzyskać pożądane cechy.

Obok ogromnego sukcesu mechaniki kwantowej w powyższym względzie istnieją jednak nierozwiązane kwestie teoretyczne, w tym brak jednoznacznej odpowiedzi na podstawowe pytanie o rozumienie roli pomiaru oraz sens ontologiczny funkcji falowej. Bezsprzecznie przyjmuje się, że kwadrat modułu funkcji falowej \({\displaystyle |\Psi (r,t)|^{2}}\) określa prawdopodobieństwo, że układ znajdzie się w chwili \({\displaystyle t}\) w stanie \({\displaystyle r.}\) Jednak problematyczne jest czy układy fizyczne istnieją niezależnie od funkcji falowej czy też istnieje tylko funkcja falowa.

Według Kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej istnieje jedynie funkcja falowa; pomiar, wykonany na układzie przez fizyka powoduje kolaps funkcji falowej, co fizycznie oznacza lokalizację układu w konkretnym położeniu; do momentu pomiaru układ nie posiada żadnego położenia. Szczególna rola eksperymentatora prowadzi do paradoksów (np. paradoks kota Schrödingera).

W interpretacji de Broglie’a-Bohma jest inaczej: zakłada się, że układ kwantowy zajmuje w każdej chwili czasu unikalne położenie \({\displaystyle r,}\) funkcja falowa pełni zaś rolę pola, mającego jedynie wpływ na ruch układu. Pomiar w tym ujęciu jest jednym z wielu oddziaływań, jakie zachodzą nieustannie między różnymi układami.

Zobacz też


Przypisy


  1. E. Schrödinger. An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules . „Physical Review”. 28 (6). s. 1049–1070. Bibcode1926PhRv...28.1049S (ang.). [dostęp 2015-02-14]. 
  2. Eyvind H. Wichmann: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973, s. 293, 345.

Bibliografia










Kategorie: Równania w mechanice kwantowej








Informacje na dzień: 23.12.2020 01:06:54 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.