Pole powierzchni


Pole powierzchni (potocznie krótko pole lub powierzchnia) – miara przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Spis treści

Konstrukcja pojęcia pola


I Definicja

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

  1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach \({\displaystyle a_{1}.}\)
  2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez \({\displaystyle n_{1}.}\)

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach \({\displaystyle a_{1}>a_{2}>a_{3}>\dots }\) i tak dalej, uzyskujemy ciąg liczb \({\displaystyle n_{1},n_{2},\dots }\)

Polem powierzchni nazywamy granicę:

\({\displaystyle S=\lim _{i\to \infty }n_{i}~a_{i}^{2}.}\)

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

Problem wyznaczania pól powierzchni dla wszystkich figur

\({\displaystyle \{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y}\) są wymierne \({\displaystyle \}}\) oraz
\({\displaystyle \{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x}\) jest niewymierny lub \({\displaystyle y}\) jest niewymierny \({\displaystyle \}}\)
są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole powierzchni równe 1, skąd możemy wnioskować że pola tych figur nie można zdefiniować, używając podejścia Jordana.

Definicja szkolna


Definicja używana w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich.

  1. Obieramy kwadrat o boku 1.
  2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
  3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja niejawnie używa pojęcia granicy ciągu (jego części), pojęcia nieużywanego. Definicja ta podaje dolne oszacowanie pola powierzchni figury i dobrze sprawdza się w typowych wypadkach.

Pole pod krzywą


Pole między krzywą daną równaniem \({\displaystyle y=f(x)}\) a osią OX ograniczone prostymi \({\displaystyle x=a}\) i \({\displaystyle x=b,}\) \({\displaystyle a\leqslant b}\) jest równe całce oznaczonej

\({\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx.}\)

Pola typowych figur


\({\displaystyle S={\frac {nar}{2}}=nr^{2}\,\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}={\frac {n}{4}}a^{2}\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}\)

Zobacz też











Kategorie: Geometria | Teoria miary




Informacje na dzień: 23.12.2020 12:36:14 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.