Operator Laplace’a - pl.LinkFang.org

Operator Laplace’a


Operator Laplace’a (laplasjan)operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać

\({\displaystyle \triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}\)

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe \({\displaystyle n}\)-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.


Zobacz hasło laplasjanWikisłowniku

Spis treści

Zastosowania


(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.

(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.

Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie


Definicja operatora Laplace’a w \({\displaystyle n}\)-wymiarowym układzie kartezjańskim

\({\displaystyle \triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}\)

Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe


(1) Operator Laplace’a w \({\displaystyle n}\)-wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\frac {h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right),}\)

gdzie:

gdzie:

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną \({\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}\) w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right),}\)

czyli

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\right)\right].}\)

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych \({\displaystyle r,\theta ,\varphi }\)

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}\)

lub

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r+{\frac {1}{r^{2}}}\left(\operatorname {ctg} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right).}\)

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych \({\displaystyle \rho ,\theta ,z}\)

\({\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}\)

Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru


Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne \({\displaystyle (r,\theta ,\phi )}\) są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi \({\displaystyle x,y,z}\) za pomocą zależności

\({\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}}\)

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)

\({\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}\)

zatem współczynniki Lamego są następujące

\({\displaystyle {\begin{cases}h_{1}=1\\h_{2}=r\\h_{3}=r\sin \theta \end{cases}}}\)

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w \({\displaystyle 3}\)-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór

\({\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}\)

Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe


Operator Laplace’a w \({\displaystyle n}\)-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych \({\displaystyle q^{1},\dots ,q^{n}}\) ma postać

(1) ogólny wzór

\({\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla q^{m}\cdot \nabla q^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}+\nabla ^{2}q^{m}{\frac {\partial }{\partial q^{m}}}.}\)

(2) z użyciem symboli \({\displaystyle \Gamma _{mn}^{l}}\)

\({\displaystyle \nabla ^{2}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial q^{l}}}\right),}\)

gdzie:

\({\displaystyle g^{mn}}\) – odwrotny tensor metryczny,
\({\displaystyle \Gamma _{mn}^{l}}\) – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.

(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego \({\displaystyle g^{ij}}\)

\({\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{\sqrt {|\det g|}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {|\det g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right),}\)

gdzie:

\({\displaystyle \det g}\) – wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie Voss -Weyla dotyczące dywergencji)

Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją


Słuszne są następujące twierdzenia:

Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej \({\displaystyle f}\) jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji

\({\displaystyle \triangle f=\operatorname {div} \ (\operatorname {grad} \ f)}\)

lub równoważnie

\({\displaystyle \Delta f\equiv \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla f.}\)

Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej \({\displaystyle {\vec {F}}}\) wyraża się przez operatory gradientu i rotacji

\({\displaystyle \triangle {\vec {F}}=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {F}})-{\operatorname {rot} }(\operatorname {rot} {\vec {F}})}\)

lub równoważnie

\({\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {F}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {F}}).}\)

Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru

\({\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta (g)+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta (f)}\)

lub równoważnie

\({\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=f\,\,\nabla ^{2}\!g+2\,\nabla f\cdot \nabla g+g\,\,\nabla ^{2}\!f.}\)

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową


Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci

\({\displaystyle {\vec {F}}=[F_{1},\dots ,F_{n}]\equiv \sum _{k=1}^{n}F_{k}\,{\hat {e}}_{k}}\)

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości \({\displaystyle \triangle F_{k}}\) obliczone z funkcji współrzędnych \({\displaystyle F_{k}}\) tej funkcji wektorowej, tj.

\({\displaystyle \triangle {\vec {F}}=[\Delta F_{1},\dots ,\Delta F_{n}]}\)

lub równoważnie

\({\displaystyle \triangle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{n}(\triangle F_{k}){\hat {e}}_{k}.}\)

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz też


Operatory różniczkowe

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

Bibliografia










Kategorie: Analiza matematyczna | Fizyka matematyczna








Informacje na dzień: 23.12.2020 05:45:34 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.