Objętość (matematyka)


Ten artykuł dotyczy objętości w geometrii trójwymiarowej. Zobacz też: inne znaczenia.

Objętośćmiara 3-wymiarowej przestrzeni.

Spis treści

Konstrukcja pojęcia


W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach \({\displaystyle a_{2}<a_{1},}\) \({\displaystyle a_{3}<a_{2}}\) itd. uzyskamy ciąg liczb \({\displaystyle n_{1},n_{2},...}\) Objętością nazywamy granicę:

\({\displaystyle V=\lim _{i\to \infty }n_{i}~a_{i}^{3}.}\)

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

\({\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}}\)

oraz

\({\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}}\)

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Osobny artykuł: Miara Lebesgue’a.

Objętość pod powierzchnią


Objętość między powierzchnią daną równaniem \({\displaystyle z=f(x,y),}\) a płaszczyzną \({\displaystyle OXY}\) w obszarze \({\displaystyle x_{1}<x<x_{2},y_{1}<y<y_{2}}\) jest równe całce podwójnej

\({\displaystyle V=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}|f(x,y)|dy~dx.}\)

Jednostki objętości


Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też











Kategorie: Geometria euklidesowa | Stereometria | Teoria miary




Informacje na dzień: 23.12.2020 02:08:39 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.