Kula


Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa kula.
Definicja intuicyjna
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli).

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Spis treści

Definicja formalna


Kula w danej przestrzeni metrycznej \({\displaystyle (X,\rho )}\) – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

\({\displaystyle {\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}}\)

dla pewnych \({\displaystyle c\in X,\ r>0,}\) które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach[1][2][3] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

\({\displaystyle K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.}\)

Informacja ogólna


Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne \({\displaystyle (x,y,z)}\) spełniają nierówność:

\({\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},}\)

gdzie \({\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}\) są współrzędnymi środka kuli, a \({\displaystyle r}\) oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

\({\displaystyle r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}}\) dla \({\displaystyle {}\,\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}\)

W \({\displaystyle n}\)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie \({\displaystyle (s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})}\) i promieniu \({\displaystyle r}\) to zbiór punktów \({\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}\) których współrzędne spełniają nierówność:

\({\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}\)

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni \({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}\) o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

\({\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.}\)

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór \({\displaystyle \{G,H,I\}}\) – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest \({\displaystyle H.}\)

Związane pojęcia


Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej


W powyższych wzorach \({\displaystyle \pi \approx 3{,}14159265}\) jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś \({\displaystyle \Gamma }\) oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem \({\displaystyle n}\)-wymiarowej kuli jest \({\displaystyle (n-1)}\)-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne


W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też


Przypisy


  1. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
  3. Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
  4. a b Wybrane wzory matematyczne , Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0.









Kategorie: Bryły obrotowe | Rozmaitości | Geometria metryczna




Informacje na dzień: 21.10.2021 01:36:20 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.