Harmoniki sferyczne - pl.LinkFang.org

Harmoniki sferyczne


Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych \({\displaystyle \theta ,\phi }\) będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

\({\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \right]f(\theta ,\phi )=0,}\)

gdzie:

\({\displaystyle \theta \in (0,\pi ),}\)
\({\displaystyle \phi \in (0,2\pi ),}\)
\({\displaystyle \lambda }\) – parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej \({\displaystyle r}\) współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr \({\displaystyle \lambda }\) musi przyjmować wartości dyskretne takie że \({\displaystyle \lambda =l(l+1),}\) gdzie \({\displaystyle l=0,1,2,\dots }\)

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy \({\displaystyle \lambda }\) jest stałą separacji tej metody.

Spis treści

Harmoniki sferyczne


Jeżeli parametr \({\displaystyle \lambda }\) przyjmuje dyskretne wartości, \({\displaystyle \lambda =l(l+1),}\) gdzie \({\displaystyle l=0,1,2,\dots ,}\) to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}\) przy czym indeks \({\displaystyle m}\) przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla \({\displaystyle m\geq 0{:}}\)

\({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot C_{l}^{m}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta ),}\)

gdzie:

\({\displaystyle l=0,1,2,\dots }\) – liczby naturalne,
\({\displaystyle m=0,1,\dots ,l}\) – liczby nie większe niż \({\displaystyle l,}\)
\({\displaystyle P_{l}^{m}}\) – stowarzyszone funkcje Legendre’a,
\({\displaystyle i}\) – jednostka urojona,
\({\displaystyle C_{l}^{m}=\left[{\frac {(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}\right]^{1/2}}\) – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

(2) dla \({\displaystyle m\leq 0{:}}\)

\({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi ),}\)

gdzie:

\({\displaystyle l=0,1,2,\dots ,}\)
\({\displaystyle m=0,-1,\dots ,-l}\) – liczby nie mniejsze niż \({\displaystyle -l,}\)
\({\displaystyle Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi )}\) – sprzężenie zespolone funkcji \({\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta ,\phi )}\) zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}\) nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby \({\displaystyle l}\) jest w sumie \({\displaystyle 2l+1}\) liniowo niezależnych rozwiązań postaci \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}\) gdzie \({\displaystyle m\in (-l,-l+1,\dots ,l).}\)

Własności harmonik sferycznych


Ortonormalność:

\({\displaystyle \int \limits _{\Omega }d\Omega \,\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi \int \limits _{0}^{\pi }d\theta \,\sin \theta \cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\delta _{ll'}\delta ^{mm'},}\)

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb \({\displaystyle l,l'}\) lub \({\displaystyle m,m'}\) są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że \({\displaystyle \theta \in (0,\pi )}\) oraz \({\displaystyle \phi \in (0,2\pi ).}\)

Przykłady harmonik sferycznych


Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie \({\displaystyle 2l+1=1,3,5,7}\) harmonik \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}\) odpowiadających danej wartości \({\displaystyle l}\)

Kilka pierwszych harmonik sferycznych
\({\displaystyle Y_{l}^{m}}\) l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3 \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3i\phi }}\)
m = −2 \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2i\phi }}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2i\phi }}\)
m = −1 \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-i\phi }}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-i\phi }}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-i\phi }}\)
m = 0 \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)}\)
m = 1 \({\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{i\phi }}\) \({\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{i\phi }}\) \({\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{i\phi }}\)
m = 2 \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2i\phi }}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2i\phi }}\)
m = 3 \({\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3i\phi }}\)

Wykresy harmonik


Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych \({\displaystyle \theta \in (0,\pi )}\) oraz \({\displaystyle \phi \in (0,2\pi ).}\) Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rysunku powyżej.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a


Ogólne rozwiązanie \({\displaystyle f(\theta ,\phi )}\) równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}\) o różnych wartościach parametrów \({\displaystyle l,m.}\) Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej


W równaniu Schrödingera

Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

\({\displaystyle {\hat {H}}({\vec {r}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}}),}\)

gdzie \({\displaystyle m}\) – masa elektronu, \({\displaystyle \Delta }\) – operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie \({\displaystyle {\vec {r}}}\) elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej \({\displaystyle V({\vec {r}})}\) elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

\({\displaystyle V({\vec {r}})\propto {\frac {e^{2}}{r}},}\)

gdzie \({\displaystyle e}\) – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne \({\displaystyle r,\phi }\) oraz \({\displaystyle \theta }\) w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej \({\displaystyle r}\) od zmiennych kątowych \({\displaystyle \phi ,\theta }\) otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych \({\displaystyle \phi ,\theta .}\) Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pędu

Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

\({\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta }\)

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

\({\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right].}\)

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

\({\displaystyle {\hat {L}}^{2}\psi (\theta ,\psi )=L^{2}\psi (\theta ,\phi )}\)

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

\({\displaystyle \psi (\phi ,\theta )\propto {Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}}\)

oraz wartości własne

\({\displaystyle L^{2}=\hbar ^{2}\,l(l+1),}\)

które są dyskretne, gdyż \({\displaystyle l=0,1,2,\dots }\) Oznacza to, że także wartości moment pędu \({\displaystyle L}\) są dyskretne (skwantowane), bo \({\displaystyle L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}.}\)

Danej wartości \({\displaystyle L}\) momentu pędu odpowiada \({\displaystyle 2l+1}\) różnych funkcji własnych \({\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}\) \({\displaystyle m=0,-1,\dots ,-l}\) operatora \({\displaystyle {\hat {L}}}\) mających różne wartości liczby \({\displaystyle m.}\) Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb \({\displaystyle m,}\) a tej samej liczbie \({\displaystyle l.}\) W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa m

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb \({\displaystyle l}\) oraz \({\displaystyle m}\) odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby \({\displaystyle m}\) implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę \({\displaystyle m}\) nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz też










Kategorie: Funkcje specjalne








Informacje na dzień: 23.12.2020 07:53:06 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.