Granica ciągu


Granica ciągu – wartość, w dowolnym otoczeniu której znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej – wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Spis treści

Granica (właściwa) i zbieżność


Niech \({\displaystyle (a_{n})}\) będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę \({\displaystyle g}\) nazywa się granicą ciągu \({\displaystyle (a_{n}),}\) jeżeli

\({\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}-g|<\varepsilon ,}\)

gdzie symbol \({\displaystyle |\cdot |}\) oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy \({\displaystyle a_{n}}\) leżą w kole \({\displaystyle K(g,\varepsilon ),}\) z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale \({\displaystyle (g-\varepsilon ,\ g+\varepsilon ),}\) który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby \({\displaystyle \varepsilon }\) istnieje taki wskaźnik \({\displaystyle N,}\) że dla wszystkich wskaźników \({\displaystyle n}\) większych od \({\displaystyle N}\) wyrazy \({\displaystyle a_{n}}\) leżą w kole o środku \({\displaystyle g}\) i promieniu \({\displaystyle \varepsilon .}\)

Granicę ciągu \({\displaystyle (a_{n})}\) oznacza się \({\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}\) i czyta się: „limes \({\displaystyle a\;n}\) przy \({\displaystyle n}\) dążącym do nieskończoności” lub po prostu \({\displaystyle \lim a_{n}}\) i czyta się: „limes \({\displaystyle a\;n}\)”, a fakt, że \({\displaystyle g}\) jest granicą ciągu \({\displaystyle (a_{n}),}\) niekiedy oznacza się \({\displaystyle a_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}g}\) lub \({\displaystyle a_{n}\to g}\) i czyta się: „ciąg \({\displaystyle a_{n}}\) dąży do \({\displaystyle g}\)” lub „ciąg \({\displaystyle a_{n}}\) jest zbieżny do \({\displaystyle g}\)” (można dodać: „przy \({\displaystyle n}\) dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe


Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Liczby rzeczywiste

Jeżeli \({\displaystyle (a_{n})}\) jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego \({\displaystyle N}\) są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w \({\displaystyle +\infty ,}\) bądź że jest rozbieżny do \({\displaystyle +\infty .}\)

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w \({\displaystyle -\infty ,}\) lub że jest rozbieżny do \({\displaystyle -\infty .}\)

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg \({\displaystyle (a_{n})}\) o wyrazach rzeczywistych ma
  • granicę niewłaściwą w \({\displaystyle +\infty }\), jeżeli \({\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}>M,}\)
  • granicę niewłaściwą w \({\displaystyle -\infty }\), jeżeli \({\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}<M.}\)
Liczby zespolone

Jeżeli \({\displaystyle (a_{n})}\) jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego \({\displaystyle N}\) są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w \({\displaystyle \infty ,}\) bądź że jest rozbieżny do \({\displaystyle \infty .}\)

Formalnie:

ciąg \({\displaystyle (a_{n})}\) o wyrazach zespolonych ma
  • granicę niewłaściwą w \({\displaystyle \infty }\), jeżeli \({\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}|>M.}\) Tutaj \({\displaystyle |a_{n}|}\) oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:

ciąg \({\displaystyle (a_{n})}\) ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w \({\displaystyle 0}\) prawie wszystkie wyrazy ciągu \({\displaystyle a_{n}}\) leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej definicję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej \({\displaystyle |a_{n}|}\) wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady


Własności


Zbieżność w przestrzeniach metrycznych


Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech \({\displaystyle (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną. Ciąg \({\displaystyle (a_{n})}\) elementów tej przestrzeni jest zbieżny do \({\displaystyle g\in X,}\) jeśli

\({\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;d(a_{n},g)<\varepsilon .}\)

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu \({\displaystyle (a_{n})}\) jest żądanie, by ciąg \({\displaystyle (d_{n})}\) gdzie \({\displaystyle d_{n}:=d(a_{n},g)}\) był zbieżny do \({\displaystyle 0.}\)

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg \({\displaystyle x_{n}}\) jest zbieżny do \({\displaystyle g,}\) jeśli w dowolnej kuli o środku w \({\displaystyle g}\) mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu \({\displaystyle x_{n}.}\)

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).

Przykłady

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych


Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech \({\displaystyle (X,\tau )}\) będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg \({\displaystyle (x_{n})}\) elementów tej przestrzeni jest zbieżny do \({\displaystyle x\in X,}\) jeśli

\({\displaystyle \forall _{U\in \tau }\;\left(x\in U\Rightarrow \exists _{N}\;\forall _{n>N}\;x_{n}\in U\right).}\)

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia \({\displaystyle U}\) punktu \({\displaystyle x}\) istnieje taki wskaźnik \({\displaystyle N,}\) że dla wszystkich wskaźników \({\displaystyle n>N}\) wyrazy \({\displaystyle a_{n}}\) leżą w otoczeniu \({\displaystyle U,}\)

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu \({\displaystyle U}\) punktu \({\displaystyle x}\) mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu \({\displaystyle x_{n}.}\)

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu[f].

Przykłady

Historia


Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne. Leucyp z Miletu, Demokryt z Abdery, Antyfont z Ramnus, Eudoksos z Knidos i Archimedes z Syrakuz wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości; ostatniemu z nich znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Isaac Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne \({\displaystyle (x+o)^{n},}\) które linearyzuje, biorąc granice, tzn. przyjmując \({\displaystyle o\to 0.}\)

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Leonhard Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki „zatrzymaniu się w odpowiednim momencie”; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Joseph Louis Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Carl Friedrich Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego \({\displaystyle \varepsilon }\) istnieje taki wskaźnik \({\displaystyle N,}\) że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzana (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, wówczas niezauważona) i Augustina Louis Cauchy’ego w jego Cours d’analyse (1821).

Zobacz też


Uwagi


  1. Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
  2. Dowód: niech dany będzie ciąg \({\displaystyle \{a_{n}\},}\) zbieżny do \({\displaystyle g\in \mathbb {R} .}\) Niech \({\displaystyle \varepsilon =1.}\) Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie \({\displaystyle N,}\) że dla każdego \({\displaystyle n>N}\) zachodzi \({\displaystyle |a_{n}-g|<1.}\)Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
    \({\displaystyle -1-|g|\leqslant -1+g<a_{n}<1+g\leqslant 1+|g|,}\)
    co oznacza, że
    \({\displaystyle |a_{n}|<1+|g|.}\)
    Połóżmy teraz \({\displaystyle M=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\dots |a_{N}|,1+|g|\}.}\) Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów \({\displaystyle \{a_{n}\},}\) co oznacza, że jest on ograniczony.
  3. Dowód: Niech \({\displaystyle (a_{n})}\) będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór \({\displaystyle \{a_{n},n\in \mathbb {N} \}}\) ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny \({\displaystyle a.}\)Wybierzmy \({\displaystyle \varepsilon >0.}\) Z własności kresu górnego istnieje takie \({\displaystyle N,}\) dla którego zachodzi \({\displaystyle a_{N}>a-\varepsilon .}\) Dla \({\displaystyle n>N,}\) dzięki monotoniczności, mamy
    \({\displaystyle a_{n}\geqslant a_{N}>a-\varepsilon }\)
    a jednocześnie
    \({\displaystyle a_{n}\leqslant a<a+\varepsilon ,}\)
    co oznacza, że
    \({\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon ,}\)
    ale to dowodzi, że \({\displaystyle a}\) jest granicą ciągu \({\displaystyle (a_{n}).}\)
  4. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
  5. Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
  6. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów.

Przypisy


  1. Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003, s. 54–56. ISBN 83-7171-636-2.









Kategorie: Granice | Przestrzeń metryczna | Analiza matematyczna




Informacje na dzień: 07.05.2021 07:02:10 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.