Funkcja wykładnicza - pl.LinkFang.org

Funkcja wykładnicza


Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

\({\displaystyle f(x)=a^{x},}\) gdzie \({\displaystyle a>0.}\)

Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa \({\displaystyle a}\) funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla \({\displaystyle a=1}\) funkcja \({\displaystyle a^{x}}\) jest funkcją stałą.

Spis treści

Własności


\({\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\ln a.}\)

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla \({\displaystyle a=e}\) mamy

\({\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}\)

Funkcja eksponencjalna


Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej \({\displaystyle e}\) (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest \({\displaystyle \exp(x)}\) (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji \({\displaystyle f(x)=e^{x}}\) jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

\({\displaystyle {\dot {x}}=x}\)

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

\({\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}\)

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: \({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}\)

Wykres funkcji \({\displaystyle y=e^{x}}\):

Płaszczyzna zespolona

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

\({\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}\)

Jest to funkcja okresowa z okresem \({\displaystyle 2\pi i}\) i można ją zapisać jako:

\({\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}\)

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania


Matematyka

Inne dziedziny

Zobacz też


Przypisy


  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: PWN, 1978. s. 87.


Zobacz w Wikibooks publikację
Funkcja wykładnicza i jej własności
Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji wykładniczych
W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Funkcja wykładnicza








Kategorie: Analiza zespolona | Funkcje ciągłe








Informacje na dzień: 22.12.2020 11:26:53 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.