Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:
- \({\displaystyle f(x)=a^{x},}\) gdzie \({\displaystyle a>0.}\)
Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa \({\displaystyle a}\) funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla \({\displaystyle a=1}\) funkcja \({\displaystyle a^{x}}\) jest funkcją stałą.
Spis treści
Własności
- \({\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},}\)
- \({\displaystyle a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}.}\)
- Dla \({\displaystyle a>1}\) funkcja wykładnicza o podstawie \({\displaystyle a}\) jest rosnąca, dla \({\displaystyle 0<a<1}\) malejąca. Jeśli \({\displaystyle a=1}\) to funkcja \({\displaystyle f(x)=a^{x}}\) jest stała.
- Pochodna funkcji wykładniczej to:
- \({\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\ln a.}\)
(patrz dowód w logarytm naturalny)
Czyli w szczególności dla \({\displaystyle a=e}\) mamy
- \({\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}\)
- Funkcja wykładnicza o podstawie \({\displaystyle a>1}\) jest (przy argumencie dążącym do \({\displaystyle +\infty }\)) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
Funkcja eksponencjalna
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej \({\displaystyle e}\) (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest \({\displaystyle \exp(x)}\) (nazywane skrótowo eksponentą).
Cechą funkcji \({\displaystyle f(x)=e^{x}}\) jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:
- \({\displaystyle {\dot {x}}=x}\)
daje wzór na funkcję eksponencjalną:
- \({\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}\)
Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: \({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}\)
Wykres funkcji \({\displaystyle y=e^{x}}\):
Płaszczyzna zespolona
Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:
- \({\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}\)
Jest to funkcja okresowa z okresem \({\displaystyle 2\pi i}\) i można ją zapisać jako:
- \({\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}\)
gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.
Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności
- \({\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w},}\)
- \({\displaystyle e^{0}=1,}\)
- \({\displaystyle e^{z}\neq 0,}\)
- \({\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},}\)
- \({\displaystyle (e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }\)
dla wszystkich z i w.
Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.
Przykłady i zastosowania
Matematyka
- Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
- Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
- Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany,
- Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
- Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
- Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
- Rozkład Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
- Rozkład dwumianowy także zawiera tę funkcję, gdzie podstawą jest prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu.
- Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą,
- Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą,
Inne dziedziny
- Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo,
- Prawo Moore’a w elektronice i informatyce,
- Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
- Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką
- Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
- Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
- Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
- Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: PWN, 1978. s. 87.
| Zobacz w Wikibooks publikację Funkcja wykładnicza i jej własności |
| Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji wykładniczych |
| W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem: Funkcja wykładnicza 
|
Kategorie: Analiza zespolona | Funkcje ciągłe
Informacje na dzień: 22.12.2020 11:26:53 CET
Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia]) Licencja: CC-by-sa-3.0
Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.
Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.
