Funkcja Mertensa
Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana przez:
- \({\displaystyle M(n)=\sum _{1\leqslant k\leqslant n}\mu (k),}\)
gdzie \({\displaystyle \mu (k)}\) jest funkcją Möbiusa[1][2][3].
Dla każdej liczby naturalnej \({\displaystyle k}\) zachodzi \({\displaystyle \mu (k)\leqslant 1,}\) zatem \({\displaystyle M(n)\leqslant n}\)[2].
Spis treści
Przypuszczenie Mertensa
Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako że dla każdego \({\displaystyle n}\)
- \({\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}\)[2][3][4].
Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064[3]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego \({\displaystyle \epsilon >0}\) wzoru
- \({\displaystyle M(n)=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}\)[2].
Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem \({\displaystyle +1}\) i \({\displaystyle -1,}\) to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.
Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem
- \({\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{\ln(u)}}+O(x^{\theta }\ln(x)),}\) gdzie theta oznacza półpłaszczyznę \({\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>\theta ,}\)
- gdzie \({\displaystyle s}\) to argument funkcji dzeta Riemanna[2].
Wzory
- \({\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.}\)
- \({\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}\) gdzie \({\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}\) oznacza \({\displaystyle n}\)-ty ciąg Fareya.
- M(n) to wyznacznik \({\displaystyle n}\)-tej macierzy Redheffera, w której \({\displaystyle a_{ij}=1,}\) gdy \({\displaystyle j=1}\) lub \({\displaystyle i}\) dzieli \({\displaystyle j,}\) a pozostałe wyrazy są zerowe.
Obliczanie wartości funkcji[3]
Osoba
|
Rok
|
Granica obliczeń
|
Mertens
|
1897
|
104
|
von Sterneck
|
1897
|
1,5×105
|
von Sterneck
|
1901
|
5×105
|
von Sterneck
|
1912
|
5×106
|
Neubauer
|
1963
|
108
|
Cohen, Dress
|
1979
|
7,8×109
|
Dress
|
1993
|
1012
|
Lioen, van de Lune
|
1994
|
1013
|
Kotnik, van de Lune
|
2003
|
1014
|
Hurst
|
2016
|
1016
|
Przypisy
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Function
, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
- ↑ a b c d e f TadejT. Kotnik TadejT., Jan van deJ. Lune Jan van deJ., On the Order of the Mertens Function
, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458
[dostęp 2017-11-10] .
- ↑ a b c d e GregG. Hurst GregG., Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551
[dostęp 2017-11-10] .
- ↑ a b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Conjecture
, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
Bibliografia
- Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)