Funkcja Mertensa


Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana przez:

\({\displaystyle M(n)=\sum _{1\leqslant k\leqslant n}\mu (k),}\)

gdzie \({\displaystyle \mu (k)}\) jest funkcją Möbiusa[1][2][3].

Dla każdej liczby naturalnej \({\displaystyle k}\) zachodzi \({\displaystyle \mu (k)\leqslant 1,}\) zatem \({\displaystyle M(n)\leqslant n}\)[2].

Spis treści

Przypuszczenie Mertensa


Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako że dla każdego \({\displaystyle n}\)

\({\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}\)[2][3][4].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064[3]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego \({\displaystyle \epsilon >0}\) wzoru

\({\displaystyle M(n)=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}\)[2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem \({\displaystyle +1}\) i \({\displaystyle -1,}\) to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

\({\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{\ln(u)}}+O(x^{\theta }\ln(x)),}\) gdzie theta oznacza półpłaszczyznę \({\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>\theta ,}\)
gdzie \({\displaystyle s}\) to argument funkcji dzeta Riemanna[2].

Wzory


\({\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.}\)

Obliczanie wartości funkcji[3]


Osoba Rok Granica obliczeń
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen, Dress 1979 7,8×109
Dress 1993 1012
Lioen, van de Lune 1994 1013
Kotnik, van de Lune 2003 1014
Hurst 2016 1016

Przypisy


  1. Eric W. Weisstein, Mertens Function , [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
  2. a b c d e f Tadej Kotnik, Jan van de Lune, On the Order of the Mertens Function , „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10].
  3. a b c d e Greg Hurst, Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10].
  4. a b Eric W. Weisstein, Mertens Conjecture , [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).

Bibliografia


Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_Mertensa&oldid=67179751

Menu nawigacyjne


<



Facebook Twitter WhatsApp Telegram e-mail





Kategorie: Funkcje arytmetyczne




Informacje na dzień: 13.05.2022 05:45:27 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.