Funkcja Möbiusa


Funkcja Möbiusafunkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa[1] w 1831 roku[2] i zdefiniowana w następujący sposób:

Wartości funkcji Möbiusa dla małych \({\displaystyle n{:}}\)

\({\displaystyle n}\) \({\displaystyle \mu (n)}\)
1 1
2 −1
3 −1
4 0
5 −1
6 1
7 −1
8 0
9 0
10 1

Gdy \({\displaystyle n}\) jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1.

Dla \({\displaystyle n>1}\) zachodzi równość:

\({\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=0,}\)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby \({\displaystyle n}\) włącznie z 1 i \({\displaystyle n}\)

\({\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1\end{cases}}}\)[3].

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

\({\displaystyle \mu (n)}\) = −1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
\({\displaystyle \mu (n)}\) = 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
\({\displaystyle \mu (n)}\) = 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Wykres funkcji Möbiusa dla \({\displaystyle n\leqslant 50{:}}\)


Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż

jeśli \({\displaystyle a}\) i \({\displaystyle b}\) są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej, gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi


Spójrzmy na ciąg ułamków

\({\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}\)

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

\({\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}\)

Utwórzmy sumę:

\({\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).}\)

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

\({\displaystyle \sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).}\)

Przypisy


  1. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Wyd. 1. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
  2. August Ferdinand Möbius (ang.). The MacTutor History of Mathematics archive. [dostęp 2013-12-12].
  3. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. T. 29. 1976, s. 78–80, seria: Biblioteka Matematyczna.

Linki zewnętrzne











Kategorie: Funkcje arytmetyczne




Informacje na dzień: 25.09.2021 04:08:00 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.