Funkcja σ


Funkcja σ (sigma), niekiedy \({\displaystyle d(n)}\) – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo: \({\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12.}\)

Sumę \({\displaystyle k}\)-tych potęg dzielników oznacza się przez \({\displaystyle \sigma _{k}(n),}\) na przykład \({\displaystyle \sigma _{0}(n)}\) to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie \({\displaystyle \sigma (n)=2n}\) nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność \({\displaystyle \sigma (n)>2n}\) nadmiarowymi, a nierówność \({\displaystyle \sigma (n)<2n}\) deficytowymi.

Twierdzenie


Jeśli \({\displaystyle n\in \mathbb {N} }\) ma rozkład na czynniki pierwsze postaci \({\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{k}^{\alpha _{k}},}\) to

\({\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}.}\)

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby \({\displaystyle n}\) można przestawić w postaci:

\({\displaystyle d=p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}\)

gdzie:

\({\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant \lambda _{i}\leqslant \alpha _{i}.}\)
(1)

Ponieważ różnym układom liczb \({\displaystyle \lambda _{1}\dots \lambda _{k}}\) spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki \({\displaystyle n,}\) więc:

\({\displaystyle \sigma (n)=\sum p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}\)
(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

\({\displaystyle \sigma (n)=\left(1+p_{1}^{1}+\dots +p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(1+p_{2}^{1}+\dots +p_{2}^{\alpha _{2}}\right)\dots \left(1+p_{k}^{1}+\dots +p_{k}^{\alpha _{k}}\right).}\)

Z kolei \({\displaystyle i}\)-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie \({\displaystyle p_{i},}\) więc

\({\displaystyle 1+p_{i}^{1}+\dots +p_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.}\)

Stąd teza.

Bibliografia


Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_σ&oldid=66801287

Menu nawigacyjne


<



Facebook Twitter WhatsApp Telegram e-mail





Kategorie: Funkcje arytmetyczne




Informacje na dzień: 08.04.2022 04:22:56 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.