Funkcja


Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa „funkcja”.

Spis treści

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[a]) – dla danych dwóch zbiorów \({\displaystyle X}\) i \({\displaystyle Y}\) przyporządkowanie[b] każdemu elementowi zbioru \({\displaystyle X}\) dokładnie jednego elementu zbioru \({\displaystyle Y}\)[1]. Oznacza się ją na ogół \({\displaystyle f,g,h}\) itd.

Jeśli funkcja \({\displaystyle f}\) przyporządkowuje elementom zbioru \({\displaystyle X}\) elementy zbioru \({\displaystyle Y,}\) to zapisujemy to następująco:

\({\displaystyle f\colon X\to Y.}\)

Zbiór \({\displaystyle X}\) nazywa się dziedziną, a zbiór \({\displaystyle Y}\) – przeciwdziedziną funkcji \({\displaystyle f.}\) Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru \({\displaystyle X}\) do zbioru \({\displaystyle Y}\) oznacza się często \({\displaystyle Y^{X}}\)[2]. Ponadto:

Wykres funkcji


Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) nazywa się zbiór \({\displaystyle W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.}\) Z definicji funkcji wynika, że dla każdego \({\displaystyle x_{0}\in X}\) istnieje dokładnie jeden taki \({\displaystyle y_{0}\in Y,}\) że \({\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f}.}\) Jeśli \({\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }\) jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli \({\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f},}\) to \({\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}\) przy czym \({\displaystyle y_{0}}\) jest jedynym takim elementem.

Definicja Peana funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peana[2]:

Relacja \({\displaystyle R\subset X\times Y}\) jest funkcją[4], jeśli:
\({\displaystyle \forall _{x\in X}\exists _{y\in Y}xRy}\)[c],
\({\displaystyle \forall _{x\in X,y_{1},y_{2}\in Y}[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})].}\)

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe


Ważną klasą funkcji są funkcje

\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }\) (zbiór \({\displaystyle \mathbb {C} }\) jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych[5].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze \({\displaystyle X}\) można zdefiniować działania arytmetyczne:

Funkcja \({\displaystyle f}\) jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia \({\displaystyle M,}\) że dla każdego \({\displaystyle x\in X}\) spełniona jest nierówność \({\displaystyle |f(x)|<M.}\)

Jeśli funkcja liczbowa \({\displaystyle f}\) przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}\)

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[5].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}\) gdzie \({\displaystyle X\subset \mathbb {C} }\) (jest to funkcja zespolona)
\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}\) gdzie \({\displaystyle X\subset \mathbb {R} }\) (jest to funkcja rzeczywista)[6]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}\) gdzie \({\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},}\)
\({\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}\) gdzie \({\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},}\)

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

\({\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}\) gdzie \({\displaystyle x_{1},...,x_{n}}\) są współrzędnymi punktu w \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\) lub odpowiednio w \({\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}\)

Rodzaje funkcji liczbowych

Sposoby określania funkcji


Jeżeli dziedzina \({\displaystyle X}\) jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)[6].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako \({\displaystyle y=f(x)}\) lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania \({\displaystyle F(x,y)=0}\)[6].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

\({\displaystyle f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.}\)

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

\({\displaystyle sgn(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},}\)

albo w taki:

\({\displaystyle sgn(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.}\)

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[7].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji \({\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }\) w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie[7].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

Funkcja jako związek między zmiennymi


Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi \({\displaystyle x}\) i \({\displaystyle y,}\) gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru \({\displaystyle X,}\) a druga przyjmuje wartości ze zbioru \({\displaystyle Y;}\) wtedy \({\displaystyle x}\) nazywa się zmienną niezależną, a \({\displaystyle y}\) – zmienną zależną[8]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej \({\displaystyle x}\) oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej \({\displaystyle y}\) oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej \({\displaystyle x.}\) Na przykład droga \({\displaystyle s}\) w ruchu jednostajnym o prędkości \({\displaystyle v}\) jest zależna od czasu \({\displaystyle t}\) ruchu i wyraża się wzorem:

\({\displaystyle s=v\cdot t.}\)

W praktyce często się zdarza, że zbiór \({\displaystyle X}\) jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych \({\displaystyle x_{1},...,x_{n}.}\) Mówimy wtedy, że zmienna \({\displaystyle y}\) jest funkcją zmiennych \({\displaystyle x_{1},...,x_{n}.}\) Na przykład siła \({\displaystyle F}\) działająca na ciało jest zależna od masy \({\displaystyle m}\) ciała i jego przyspieszenia \({\displaystyle a{:}}\)

\({\displaystyle F=m\cdot a.}\)

Przykłady funkcji


W matematyce

Definicję funkcji spełniają na przykład:

W fizyce

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

W innych dziedzinach

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

Chemia:

Biologia:

Medycyna i fizjologia:

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

Ekonomia:

Psychologia:

Pojęcia


Złożenie. Iteracja

Osobny artykuł: złożenie funkcji.

Mając dwie funkcje \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) i \({\displaystyle g\colon Y\to Z,}\) można utworzyć funkcję złożoną \({\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}\) określoną wzorem \({\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}\)

Wielokrotne złożenie funkcji \({\displaystyle f\colon X\to X}\) nosi nazwę iteracji. Ściśle: \({\displaystyle n}\)-tą iteracją funkcji \({\displaystyle f}\) nazywa się funkcję

\({\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}\)

Funkcja różnowartościowa

Osobny artykuł: funkcja różnowartościowa.

Funkcję \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch \({\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}\) zachodzi warunek

\({\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}\) lub równoważnie \({\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}.}\)

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem \({\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x+5.}\)

Funkcja „na”

Osobny artykuł: funkcja „na”.

Funkcję \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina \({\displaystyle Y}\) jest równocześnie jej zbiorem wartości funkcji. Oznacza to, że dla każdego \({\displaystyle y\in Y}\) istnieje co najmniej jeden taki \({\displaystyle x\in X,}\) że \({\displaystyle f(x)=y.}\)

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu \({\displaystyle x\in X}\) dokładnie jedno \({\displaystyle y\in Y}\) (i na odwrót). Bijekcja \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory \({\displaystyle X}\) i \({\displaystyle Y}\) mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję \({\displaystyle f\colon X\to X}\) nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję \({\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}\) taką, że \({\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}\) którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru \({\displaystyle M\subseteq X.}\) Jest to funkcja \({\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}\) taka, że \({\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}\) dla każdego \({\displaystyle x\in M.}\) Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[9].

Jeżeli \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) jest funkcją, a \({\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}\) jest jej zawężeniem do zbioru \({\displaystyle M\subset X,}\) to dla dowolnego zbioru \({\displaystyle B\subset Y}\) mamy \({\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}\)

Z drugiej strony, dla \({\displaystyle M\subset X,}\) można przedłużyć funkcję \({\displaystyle f\colon M\to Y}\) zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję \({\displaystyle g\colon X\to Y.}\) Można np. wymagać, by przedłużenie \({\displaystyle g}\) funkcji \({\displaystyle f}\) było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny


Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[10] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[11]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą ndowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych[e][12]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i \({\displaystyle \xi ,}\) a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[13].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę \({\displaystyle \varphi ,}\) zapisując argument jeszcze bez nawiasów \({\displaystyle \varphi x.}\) Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz też


Zobacz hasło funkcjaWikisłowniku
Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceumPojęcie funkcji

Uwagi


  1. Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
  2. W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
  3. Zarówno Peano, jak Kuratowski z Mostowskim w swojej, cytowanej powyżej, książce nie podawali tego warunku. Funkcję częściową uznawali więc za rodzaj funkcji.
  4. Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
  5. ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy


  1. a b c Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.
  2. a b c d e f g Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.
  3. Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.
  4. G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.
  5. a b Winogradow 1985 ↓, s. 715.
  6. a b c Winogradow 1985 ↓, s. 716.
  7. a b Winogradow 1985 ↓, s. 717.
  8. Kuratowski 1967 ↓, s. 60.
  9. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.
  10. Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.
  11. Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.
  12. Juszkiewicz, op. cit., s. 146.
  13. Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

Bibliografia











Kategorie: Funkcje matematyczne




Informacje na dzień: 09.05.2021 07:17:53 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.