Część wspólna


Część wspólna, przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięciezbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Spis treści

Definicje


Część wspólna zbiorów \({\displaystyle A}\) i \({\displaystyle B}\) to zbiór, do którego należą te elementy zbioru \({\displaystyle A,}\) które należą również do \({\displaystyle B}\)[1][2]. Część wspólna zbiorów \({\displaystyle A}\) i \({\displaystyle B}\) jest oznaczana przez \({\displaystyle A\cap B.}\) Tak więc:

\({\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)}\)[1][3][4],

co jest równoważne zapisowi

\({\displaystyle A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}}\)[5][6],

gdzie \({\displaystyle \Omega }\) jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór \({\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}}\) elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\)[10]:

\({\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.}\)

Można to równoważnie zapisać jako

\({\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}}\)[11].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów \({\displaystyle (A_{i})_{i\in I},}\) gdzie zbiór indeksów \({\displaystyle I}\) jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

\({\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},}\)

co jest równoważne

\({\displaystyle a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}}\)[12][13].

Przykłady


\({\displaystyle \mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2}\) dzieli \({\displaystyle n\}.}\)
\({\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].}\)

Własności


Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów \({\displaystyle A,B,C}\) zachodzą następujące równości:

Ponadto,

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech \({\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},}\) \({\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}\) oraz \({\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}}\) będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów \({\displaystyle I,J,K}\) są niepuste. Niech \({\displaystyle D}\) będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech \({\displaystyle {\mathfrak {A}}}\) będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

\({\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}.}\)

Na przykład niech \({\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\},}\) gdzie \({\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{A_{1},A_{2}\}}\) oraz \({\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{A_{3},A_{4}\}.}\) Wtedy z jednej strony:

\({\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4},}\)

a z drugiej

\({\displaystyle \bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}=\bigcap \{A_{1}\cap A_{2},A_{3}\cap A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}.}\)

Związek z funkcjami

Dla dowolnej funkcji \({\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,}\) dowolnej rodziny indeksowanej \({\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}\) podzbiorów zbioru \({\displaystyle X}\) oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej \({\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}\) podzbiorów zbioru \({\displaystyle Y,}\) zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

W zbiorze potęgowym

Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego \({\displaystyle U}\) (tzw. uniwersum) oraz \({\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {U} )}\) jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru \({\displaystyle U,}\) to

\({\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )}\)

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór \({\displaystyle U}\) jest elementem neutralnym operacji części wspólnej \({\displaystyle \cap .}\)

Zapis

\({\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}},}\)

gdy \({\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing }\) (tzn. gdy \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21].

Zobacz też


Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceumLiczby i ich zbiory

Przypisy


Bibliografia











Kategorie: Działania na zbiorach




Informacje na dzień: 22.12.2020 11:16:50 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.