Całki eliptyczne


Całki eliptyczne – to ważna klasa całek postaci

\({\displaystyle \int R(x,{\sqrt {W(x)}})dx,}\)
(1)

gdzie \({\displaystyle R(x,y)}\) jest funkcją wymierną zmiennych \({\displaystyle x}\) i \({\displaystyle y,}\) a \({\displaystyle W(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4.

Spis treści

Nazwa całek eliptycznych


Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Rodzaje całek eliptycznych


Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

  • \({\displaystyle \int {\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ \ (0<k<1),}\)
  • \({\displaystyle \int {\frac {(1-k^{2}t^{2})dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ \ (0<k<1),}\)
  • \({\displaystyle \int {\frac {dt}{(1+ht^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}\ \ (0<k<1),\quad {}}\) h – parametr zespolony.

Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie \({\displaystyle t=\sin \varphi ,}\) dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre’a, tj.

  • \({\displaystyle \int {\frac {d\phi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}}\ \ (0<k<1)}\) – całka eliptyczna 1. rodzaju,
  • \({\displaystyle \int {\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}\;d\phi \ \ (0<k<1)}\) – całka eliptyczna 2. rodzaju,
  • \({\displaystyle \int {\frac {d\phi }{(1+h\sin ^{2}\phi ){\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}}}\ \ (0<k<1)}\) – całka eliptyczna 3. rodzaju.

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich.

Całki eliptyczne oznaczone


Całki eliptyczne niezupełne

Powyższe całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do \({\displaystyle \psi }\) oznacza się za Legendre’em odpowiednio

  • \({\displaystyle F(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\frac {d\phi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}}\ \ (0<k<1)}\) – eliptyczna całka oznaczona 1. rodzaju,
  • \({\displaystyle E(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}\;d\phi \ \ (0<k<1)}\) – eliptyczna całka oznaczona 2. rodzaju.

Parametr \({\displaystyle k}\) występujący w funkcjach \({\displaystyle F}\) oraz \({\displaystyle E}\) nazywamy modułem.

Całki eliptyczne zupełne

Całki eliptyczne \({\displaystyle F}\) oraz \({\displaystyle E}\) nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych, które oblicza się w zakresie od 0 do \({\displaystyle \pi /2}\)

  • \({\displaystyle {\text{K}}(k)=F\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}}\ \ (0<k<1),}\)
  • \({\displaystyle {\text{E}}(k)=E\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}\;d\phi \ \ (0<k<1).}\)

Wartości całek eliptycznych zupełnych \({\displaystyle {\text{K}}}\) oraz \({\displaystyle {\text{E}}}\) są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Obliczanie obwodu elipsy

Dokładną wartość obwodu elipsy wyznacza całka eliptyczna zupełna drugiego rodzaju, wzorem[1]

\({\displaystyle l=4a\,{\text{E}}{\big (}e{\big )},}\)

gdzie \({\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}}\) – mimośród elipsy.

Np. dla \({\displaystyle a=2}\) oraz \({\displaystyle b=1}\) mimośród wynosi \({\displaystyle e=0{,}866025,}\) co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy \({\displaystyle l=9{,}6884482.}\)

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela


Całki tego rodzaju, w których za zmienną \({\displaystyle y}\) podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej \({\displaystyle x,}\) taką że

\({\displaystyle P(x,y)=0,}\)

gdzie \({\displaystyle P(x,y)}\) jest wielomianem względem zmiennych \({\displaystyle x}\) i \({\displaystyle y,}\) nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznych


Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa \({\displaystyle \wp (z,g_{2},g_{3})}\) zmiennej zespolonej \({\displaystyle z}\) o parametrach \({\displaystyle g_{2},g_{3}}\) jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

\({\displaystyle z(w)=\int \limits _{w}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}},}\)

tzn.

\({\displaystyle w=\wp (z,g_{2},g_{3}),}\)

o ile \({\displaystyle z=z(w).}\)

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.

Przypisy


  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.

Bibliografia











Kategorie: Całki | Funkcje specjalne




Informacje na dzień: 23.12.2020 07:30:56 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-by-sa-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.