Całka podwójna


Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych \({\displaystyle z=f(x,y){:}}\)

\({\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy.}\)

Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną \({\displaystyle z=0}\) a powierzchnią \({\displaystyle z=f(x,y).}\)

Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.

Zamiana na całkę iterowaną


Jeżeli \({\displaystyle D}\) jest obszarem normalnym względem osi OX, tzn. \({\displaystyle D=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x)\},}\) to

\({\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy{\bigg )}\;dx.}\)

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY). Jeżeli obszar \({\displaystyle D}\) nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych


Załóżmy, że obszar regularny domknięty \({\displaystyle D}\) jest obrazem obszaru regularnego domkniętego \({\displaystyle \Omega }\) we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

\({\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v),\ y=y(u,v)\},}\)
które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar \({\displaystyle \Omega ,}\) oraz
którego jakobian \({\displaystyle J={\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}\) jest różny od zera wewnątrz \({\displaystyle \Omega ,}\)

zaś \({\displaystyle f}\) jest dowolną funkcją ciągłą w \({\displaystyle D.}\) Wtedy

\({\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\iint \limits _{\Omega }f(x(u,v),\ y(u,v))|J|\;du\;dv.}\)

Uwaga. \({\displaystyle |J|}\) oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś \({\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}},\ x'_{v}={\frac {\partial x}{\partial v}},\ y'_{u}={\frac {\partial y}{\partial u}},\ y'_{v}={\frac {\partial y}{\partial v}}}\) oznaczają pochodne cząstkowe.

Zobacz też


Zobacz w Wikibooks publikację
Analiza matematyczna/Całka podwójna









Kategorie: Całki




Informacje na dzień: 25.12.2020 08:40:02 CET

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja: CC-BY-SA-3.0

Zmiany: Wszystkie zdjęcia i większość powiązanych z nimi elementów projektu zostały usunięte. Niektóre ikony zostały zastąpione przez FontAwesome-Icons. Niektóre szablony zostały usunięte (np. „Artykuł wymaga rozszerzenia) lub przypisane (np.„ Przypisy ”). Klasy CSS zostały usunięte lub zharmonizowane.
Usunięto linki do Wikipedii, które nie prowadzą do artykułu lub kategorii (takie jak „Redlinki”, „linki do strony edycji”, „linki do portali”). Każde łącze zewnętrzne ma dodatkową ikonę FontAwesome. Oprócz drobnych zmian w projekcie usunięto kontener multimediów, mapy, pola nawigacji, wersje mówione i geomikroformaty.

Proszę zanotować: Ponieważ podana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja była i nie jest możliwa. Dlatego LinkFang.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pozyskanych treści. Jeśli istnieją informacje, które są obecnie niepoprawne lub mają niedokładny wygląd, prosimy o Skontaktuj się z nami: e-mail.
Zobacz też: Znak firmowy wydawcy & Polityka prywatności.